第80章 它太过癫狂

2109.格雷戈里·圣文森特是最厉害的化圆为方研究者，他的研究让他发现了很多真理：他找到了双曲线弧的性质，后来纳皮尔的对数也因此被称为双曲对数。

蒙图克拉提到他时，说得既巧妙又实在：从来没有人能凭着这么高的天赋去研究化圆为方，而且除了他的主要目标没实现，其他方面的成就都这么大。

——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第70页。

格雷戈里·圣文森特，乃最杰出之化圆为方研究者，其研究使他发现诸多真理：他找到双曲线弧之性质，后纳皮尔对数因此被称为双曲对数。

蒙图克拉言及他，语带巧妙而实在：从未有人凭如此高天赋研化圆为方，且除主要目标未达，其他方面成就斐然。

——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十页。

2110.我学到几何的时候，知道了有一个命题，几百年来人们一直在找它的证明方法，我就忍不住想试试自己能不能找到。

要是我承认直到现在还坚信自己成功了，你大概会觉得我很傻吧。

——波尔查诺，伯纳德。

《自传》（维也纳，1875），第19页。

吾学几何时，知有一命题，数百年间人皆求其证明，吾不禁欲试己能。

若吾坦言至今仍信己成功，君或谓吾愚也。

——波尔查诺，伯纳德。

《自传》（维也纳，1875），十九页。

2111.《平行线理论》

众所周知，要完善这一理论，只需证明以下命题，而欧几里得将其作为公理假定：

命题：若两条直线Ec和db与第三条直线cp所形成的内角EcF和dbc之和小于两个直角，则这两条直线若充分延长，必将相交。

[插图：一幅用于辅助证明的平行线和相交线几何图]

证明：作pcA等于cbd的补角pbd，再作EcF、FcG等角，每一个都等于AcE，这样AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，依此类推。

那么，无论角AcE有多小，总存在某个数n，使得n·AcE=Ach等于或大于Acp。

再者，取bI、IL等线段，每一段都等于cb，并作IK、Lm等与bd平行，那么图形Acbd、dbIK、KILm等都是全等的，且AcIK=2·Abcd，AcLm=3·Acbd，依此类推。

取AcNo=n·Acbd，其中n与表达式Ach=n·AcE中的n取值相同，那么AcNo必然小于Acp，因为AcNo必须加上oNp才能等于Acp。

由此可知，AcNo也小于Ach，取两者的n分之一，可得Acbd小于AcE。

但如果AcE大于Acbd，那么cE和bd必定相交，因为否则的话，AcE就会是Acbd的一部分。

——《数学杂志》，第2卷（1834年），第198页

《平行线论》

盖欲完此论，唯证一义足矣，欧几里得尝以之为公理：

题曰：两线Ec、db与第三线cp所成内角EcF、dbc，其和若小于二直角，则两线延长之，必相交。

[图注：绘平行线与相交线，以辅证]

证曰：作pcA等于cbd之补角pbd，复作EcF、FcG诸角，各等于AcE，使AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，余类推。

然则无论AcE多微，必有数n，使n·AcE=Ach，或等于Acp，或大于之。

又取bI、IL诸段，各等于cb，作IK、Lm平行于bd，则形Acbd、dbIK、KILm皆全等，且AcIK=2·Abcd，AcLm=3·Acbd，余类推。

取AcNo=n·Acbd，n与Ach=n·AcE之n同，则AcNo必小于Acp，因AcNo必加oNp乃等于Acp。

由此知AcNo亦小于Ach，取其n分之一，则Acbd小于AcE。

若AcE大于Acbd，则cE与bd必相交，否则AcE将为Acbd之一部。

——《算学杂志》二卷（1834年），百九十八页

2112.你确定用欧几里得的方法无法三等分角吗？我不必为尝试此事白费哪怕一小时而懊悔，但我觉得，我们认为这件事做不到，更多是一种直觉、一种感觉，而非有确凿的证明。

不过，一个世纪前，高斯用直尺和圆规作出正十七边形，在当时看来，不也几乎是不可能的吗？——汉密尔顿，w.R.

《致德·摩根的信》（1852年）

子果信欧几里得法不能三分角乎？吾未尝以试此而悔掷寸阴，然觉世人谓其不可，多出于直觉，非有确证。

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