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间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。
但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。
其实，以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而，极限这个概念，正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。
现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。
通俗一点讲，我们都知道一条线是由无数个点组成的，但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷换了概念，（1+0.1+0.01+……）t其实是一个有限的时间，但他认为这个时间是无限大的，只要时间超过（1+0.1+0.01+……）t 阿基里斯就追上了乌龟。
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。
人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。
我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9
芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。
无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2，否则你的时钟将永远停留在59分59.9999............秒。
阿基里斯能够继续逼近乌龟，在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立，因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离，而不是追上的这一距离。
古人的智慧不比我们差，为什么我们能够想象到的极限思维以及人能够跑过乌龟的事实不能说服固执的先哲?因为这个故事根本不是那么回事。讲的不是阿基里斯“跑不过”乌龟，而是阿基里斯“怎么跑过”乌龟的。阿基里斯是能够超过乌龟的，古人也同意这一点，实际上也正是因为能跑过，才构成了悖论。实际上悖论是，当阿基里斯向前移动10尺，乌龟向前移动1尺，当阿基里斯再向前移动1尺，乌龟又向前移动0.1尺...。如果时间是可以无限细分的，那么你能不能给我描述一下阿基里斯是“怎么”超过乌龟的?古人无法描述这一点，恐怕现在的你也无法描述。因为按照上面的逻辑，如果时间能够无限细分，那就意味着不存在这样一个“瞬间”使得阿基里斯能够“比肩”乌龟，因为不管阿基里斯向前跑多远，乌龟总是向前跑动一段距离处于阿基里斯前面，但事实是我们都能看到自然中人能够跑过乌龟。于是古人便由此引发了对运动和静止的思考。类似的悖论还有“飞矢不动”论。同学们可以自己上网找来看。或者我再说一个悖论。想象有两条无限延伸的直线，它们相交，有一个交点。然后我旋转其中一条直线，直至两条直线平行。好了，朋友，你能不能给我描述一下原先的那个交点是“怎么”消失的?因为它们一开始有交点，然后我选转其中一条直线旋转某个角度，那么交点就向远方移动，但是交点仍然存在，然后我再移动一定的角度，交点更远一些，然后我移动那条直线十分十分接近平行了，那么交点在无限远，那么最后怎么样的一个瞬间咻的一下那个交点就没了然后两条线平行了?------大家可以先思考一下，这个悖论的解答和数学上的极限没任何关系，因为所有数学上的分析最后都是指向阿基里斯“的却”能够超过乌龟，却没有回答这个悖论的本质-怎么超过的。
间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。
但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。
其实，以上的证明是无法推翻这个悖论的。因为这个证明用到了极限这个概念。然而，极限这个概念，正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。
现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。
通俗一点讲，我们都知道一条线是由无数个点组成的，但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。也就是说就是芝诺偷换了概念，（1+0.1+0.01+……）t其实是一个有限的时间，但他认为这个时间是无限大的，只要时间超过（1+0.1+0.01+……）t 阿基里斯就追上了乌龟。
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。
人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。
我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9
芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。
无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2，否则你的时钟将永远停留在59分59.9999............秒。
阿基里斯能够继续逼近乌龟，在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立，因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离，而不是追上的这一距离。
古人的智慧不比我们差，为什么我们能够想象到的极限思维以及人能够跑过乌龟的事实不能说服固执的先哲?因为这个故事根本不是那么回事。讲的不是阿基里斯“跑不过”乌龟，而是阿基里斯“怎么跑过”乌龟的。阿基里斯是能够超过乌龟的，古人也同意这一点，实际上也正是因为能跑过，才构成了悖论。实际上悖论是，当阿基里斯向前移动10尺，乌龟向前移动1尺，当阿基里斯再向前移动1尺，乌龟又向前移动0.1尺...。如果时间是可以无限细分的，那么你能不能给我描述一下阿基里斯是“怎么”超过乌龟的?古人无法描述这一点，恐怕现在的你也无法描述。因为按照上面的逻辑，如果时间能够无限细分，那就意味着不存在这样一个“瞬间”使得阿基里斯能够“比肩”乌龟，因为不管阿基里斯向前跑多远，乌龟总是向前跑动一段距离处于阿基里斯前面，但事实是我们都能看到自然中人能够跑过乌龟。于是古人便由此引发了对运动和静止的思考。类似的悖论还有“飞矢不动”论。同学们可以自己上网找来看。或者我再说一个悖论。想象有两条无限延伸的直线，它们相交，有一个交点。然后我旋转其中一条直线，直至两条直线平行。好了，朋友，你能不能给我描述一下原先的那个交点是“怎么”消失的?因为它们一开始有交点，然后我选转其中一条直线旋转某个角度，那么交点就向远方移动，但是交点仍然存在，然后我再移动一定的角度，交点更远一些，然后我移动那条直线十分十分接近平行了，那么交点在无限远，那么最后怎么样的一个瞬间咻的一下那个交点就没了然后两条线平行了?------大家可以先思考一下，这个悖论的解答和数学上的极限没任何关系，因为所有数学上的分析最后都是指向阿基里斯“的却”能够超过乌龟，却没有回答这个悖论的本质-怎么超过的。