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点。
就是这么一丢丢偏差，导致了运行结果的截然不同。
最终洛伦茨在63年提出了赫赫有名的混沌理论，其中最有代表性的就是蝴蝶效应的那句话：
“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起德克萨斯州的一场龙卷风。”
当然了。
需要解释的一点是......
这句话的本意其实并不是说【蝴蝶的翅膀引发了风暴】。
而是.....
【引发风暴的原因太复杂了，以至于我们需要知道每一只蝴蝶的翅膀，才有可能预测这个结果。】
而混沌理论的出现，则彻底将物理界推向了另一个方向。
想到这里。
徐云不由深吸一口气，心中有了决断。
虽然叶笃正的情况并不在他的预料之中，爱德华·诺顿·洛伦茨这人和徐云也没啥矛盾。
但这种送上门的好事儿，哪有往外推脱之理？
于是徐云沉吟片刻，很快对叶笃正说道：
“叶主任，不瞒你说，您讲的这个情况，其实风灵月影社团内也有人思考过。”
“对了，叶主任，不知道你听没听说过印度舍罕王的宰相西萨.班.达依尔数麦粒的故事？”
叶笃正眨了眨眼，很快给出了答桉：
“当然听说过。”
舍罕王赏麦。
这算是一个很有名的数学典故。
上辈子是国际象棋的同学应该都知道。
传说国际象棋的发明者是古印度的宰相西萨·班·达依尔，那时的国王是舍罕，世人称为舍罕王。
舍罕王对于国际象棋非常喜爱，便询问达依尔需要得到什么赏赐。
达依尔则留下了一句传世经典的话：
【请您在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子放8粒......即每一个次序在后的格子上放的麦粒必须是前一个格子麦粒数的倍数，直到最后一个格子即第64格放满为止，这样我就十分满足了】。
舍罕王同意了这个要求，但最后他才发现如果按照达依尔的算法，他得要支付整个王国往后2000年的麦粒才行.....
随后徐云顿了顿，对叶笃正说道：
“当然了，这个故事的真假我们无从分辨，不过却从中可以看出一个道理。”
“那就是如果一个动力学系统的初始条件中有一个微小误差δZ0，那么在它的演化过程中，这个偏差在时间t内变化出现一个演化函数。”
说罢。
徐云有些费力的拿起笔，写下了一个函数：
|δZ(t)|～|δZ0|eλt。
接着徐云在λ下方画了条横，继续说道：
“这个λ我称之为李雅普诺夫指数，它表征了敏感程度。”（注：李雅普诺夫是19世纪的人，但李雅普诺夫指数要在混沌系统建立后才会提出）
“如果它是负数，我们会发现初始偏差会在演化过程中被不断抹平——这代表它对初始条件不敏感，反之则极其敏感。”
“而在一般动力学系统中呢，其演化总是可以被这样一个微分方程来描述，也就是d/dtX=f(X).......”
看着徐云洋洋洒洒写下的这些内容。
从兴趣小组离开后便一直【0v0】的乔彩虹忍不住挠了挠头发。
哎呀。
头有点痒，好像要长脑子了......
其实吧。
徐云向叶笃正描述的内容，正是后世知名度很广的反馈系统和指数发散。
这也是为数不多的混沌系统在概念上的数学切入点。
当然了。
后世还有一些曼德布洛特集和多分形图桉等等，但这些都需要计算机进行辅助。
过了片刻。
看着徐云写出来的内容，叶笃正眼中隐隐闪过了一丝明悟：
“....我好像有些明白了，韩立同志，大气系统的基本原理，其实符合决定论的逻辑？”
“没错。”
徐云闻言，心中微微一松，用力点了点头：
“这个系统并不是在驳斥决定论，而是因为决定论的方程出现了难以预测的现象，才令这个系统值得探究。”
“它是以决定论为基础的理论，用决定论推出了难以预测的结果——这是一个非常重要的概念。”
在徐云来的后世。
有关混沌系统的概念，经常会出现两个误区。
一是认为混沌系统的存在驳斥了可知论或者决定论，和量子不确定性是一个概念。
这其实是一个非常离谱的错误。
混沌系统指的是一定时间内不可知，并不是不确定，它和和决定论本身是不冲突的。
同时混沌理论是纯数学机制，而量子不确定性是物理机制——经典动力学中存在混沌现象，纯量子力学中不存在混沌现象。
更重要的是。
混沌意味着蝴蝶效应和相空间的分形结构，要求是非线性动力学。
量子力学中的确定状态只能在希尔伯特空间中描述，是一种线性状态。
至于第二个误区嘛......
就是混沌系统经常会莫名其妙的和‘哲学’扯上关系，最终越走越远。
比如说着说着就会扯上道家的定义，动不动就是道生一，一生二，二生三，三生万物。
然后末尾给你一个微信，加上去tmd就是推销檀香的.....
徐云一直担心叶笃正会误入这两个陷阱，这会导致叶笃正今后出现极其严重的研究壁垒，甚至可能精神上变成李火旺。
因此他从刚开始的时候，便在努力给叶笃正灌输混沌理论是纯数学机制这个概念。
“韩立同志。”
就在徐云给叶笃正解释到差不多之际。
一旁一直没说话的钱一....或者说钱秉穹突然开口了：
“韩立同志，那么照你这样说，我们的世界其实很大部分都是非线性的了？”
“那么如此一来，线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？”
听到钱秉穹这番话。
徐云忍不住看了他一眼。
随后强行按捺住见到大老的激动，平静的摇了头，解释道：
“钱...额，钱一同志对吧，那倒未必。”
“至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。”
“它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。”
“根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。”
说罢。
徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。
众所周知。
广义的说。
“线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即:
F(x_1+x_2+x_3+...)=F(x_1)+F(x_2)+F(x_3)+...
这个F不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。
简而言之。
线性系统对应的也就是线性映射。
而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的：
\frac{dX}{dt}=A\cdot X其中X=[x1，x2，x3，...]T。
而A是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。
与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。
比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵A中的项跟X的各项有关。
当然了。
非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。
比如可以形成Turing Pattern的带有扩散项的系统。
但另一方面。
微分拓扑中的科普卡-斯梅尔定理机制保证了一个稠密性的情况：
局部稳定流形在工作点局部线性化之后。
对应的线性系统会具有稳定子空间εs和不稳定子空间εu，它们分别与对应的流形相切。
也就是在一定程度上。
非线性系统可以被近似看做线性系统处理。
“......”
过了一会儿。
钱秉穹消化掉了徐云的想法，又皱着眉头说道：
“但就算如此，韩立同志，也不是所有非线性系统都可以被线性化近似的吧？”
“或者说需要把非线性系统近似成线性，必须要完成很大的计算量？”
“没错。”
徐云干脆利落的点了点头，肯定道：
“想要尽可能的去优化近似，就必须要完成大量的计算——这和穷举法是一个道理。”
“而想要做到这一步，必须要依靠另一个工具。”
这一次。
钱秉穹沉默了更长时间，方才慢慢说道：
“你是指.....计算机？”
徐云深吸一口气，双手悄悄在桌下握成了拳：
“没错，计算机，我个人认为，这个方向是未来最重要的趋势之一。”
“甚至这样说....21世纪，将会是计算机的世纪。”
钱秉穹顿时童孔一缩。
作为华夏原子能科学事业的创始人，钱秉穹虽然由于专业限制，对计算机谈不上精通。
但他在大局观这块的掌握度却远非常人所能及。
因此在整个交谈过程中，他便意识到了一件事：
如果世界真正是非线性的话.....
那么今后科学发展的本底逻辑，就是要将非线性的东西近似成线性状态。
这所谓的‘东西’可能是天气、
可能是理论、
可能是经济、
也可能是.....
科技与军事。
而倘若真是如此。
那么徐云所说的计算机，确实就是必不可少的一个重要方向了。
“计算机吗......”
看着对面脸色变换不停的钱秉穹，徐云的心绪同样紧张不已。
这是他临时挖的一个坑。
【世界是非线性的】。
这是一个在混沌理论提出后才被发现的真相。
注意。
还是那句话：
这不是一个哲学话题，而是数学概念。
只是它听起来有点哲学味儿罢了。
非线性研究从上个世纪60年代出现，直到70年代末才正式进入发展阶段。
这个概念直接促使了很多领域的发展，其中最具代表性的便是.....
计算机行业。
后世什么金融混沌系统啦、神经混沌系统啦、气象混沌系统啦，全都是靠着计算机支棱起来的。
因此在叶笃正提出了混沌理论的问题后，徐云立刻想到了这一层：
自己当初已经在孙俊人那边埋下了工业软件的线，而如果再在今天埋下计算机的种子.....
那画面可太美了.....
而且要知道。
此时坐在自己对面的可是钱秉穹！
一位完全有能力理解自己所说概念、意识到这个价值并且把它传递给决策层的大老！
倘若上层真的开始重视计算机......
妈耶。
这个世界改动的好像有点厉害了.......
不过没关系。
被强化的可是兔子，谁不希望自己的国家越来越好呢？
徐云甚至巴不得兔子尽早搞出高达，人人开着初号机，在某些不得house的house面前好好展示展示什么叫作风优良！
因此一时间。
现场三人齐齐陷入了沉思，只有一旁的乔彩虹感觉天旋地转。
然而几秒钟后。
呜呜呜——
距离他们不远处的一根电线杆上，忽然有个喇叭响起了刺耳的警报声。
见此情形。
石桌边。
叶笃正、钱秉穹等人骤然脸色一变，勐然转头看向了某个方位。
乔彩虹也瞬间从o.O的表情中恢复了过来，一把拉住了徐云的轮椅：
“韩立同志，有情况！咱们快走！”
.....
注：
今天驴兄生日，大家去角色卡点个赞吧.....
点。
就是这么一丢丢偏差，导致了运行结果的截然不同。
最终洛伦茨在63年提出了赫赫有名的混沌理论，其中最有代表性的就是蝴蝶效应的那句话：
“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起德克萨斯州的一场龙卷风。”
当然了。
需要解释的一点是......
这句话的本意其实并不是说【蝴蝶的翅膀引发了风暴】。
而是.....
【引发风暴的原因太复杂了，以至于我们需要知道每一只蝴蝶的翅膀，才有可能预测这个结果。】
而混沌理论的出现，则彻底将物理界推向了另一个方向。
想到这里。
徐云不由深吸一口气，心中有了决断。
虽然叶笃正的情况并不在他的预料之中，爱德华·诺顿·洛伦茨这人和徐云也没啥矛盾。
但这种送上门的好事儿，哪有往外推脱之理？
于是徐云沉吟片刻，很快对叶笃正说道：
“叶主任，不瞒你说，您讲的这个情况，其实风灵月影社团内也有人思考过。”
“对了，叶主任，不知道你听没听说过印度舍罕王的宰相西萨.班.达依尔数麦粒的故事？”
叶笃正眨了眨眼，很快给出了答桉：
“当然听说过。”
舍罕王赏麦。
这算是一个很有名的数学典故。
上辈子是国际象棋的同学应该都知道。
传说国际象棋的发明者是古印度的宰相西萨·班·达依尔，那时的国王是舍罕，世人称为舍罕王。
舍罕王对于国际象棋非常喜爱，便询问达依尔需要得到什么赏赐。
达依尔则留下了一句传世经典的话：
【请您在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子放8粒......即每一个次序在后的格子上放的麦粒必须是前一个格子麦粒数的倍数，直到最后一个格子即第64格放满为止，这样我就十分满足了】。
舍罕王同意了这个要求，但最后他才发现如果按照达依尔的算法，他得要支付整个王国往后2000年的麦粒才行.....
随后徐云顿了顿，对叶笃正说道：
“当然了，这个故事的真假我们无从分辨，不过却从中可以看出一个道理。”
“那就是如果一个动力学系统的初始条件中有一个微小误差δZ0，那么在它的演化过程中，这个偏差在时间t内变化出现一个演化函数。”
说罢。
徐云有些费力的拿起笔，写下了一个函数：
|δZ(t)|～|δZ0|eλt。
接着徐云在λ下方画了条横，继续说道：
“这个λ我称之为李雅普诺夫指数，它表征了敏感程度。”（注：李雅普诺夫是19世纪的人，但李雅普诺夫指数要在混沌系统建立后才会提出）
“如果它是负数，我们会发现初始偏差会在演化过程中被不断抹平——这代表它对初始条件不敏感，反之则极其敏感。”
“而在一般动力学系统中呢，其演化总是可以被这样一个微分方程来描述，也就是d/dtX=f(X).......”
看着徐云洋洋洒洒写下的这些内容。
从兴趣小组离开后便一直【0v0】的乔彩虹忍不住挠了挠头发。
哎呀。
头有点痒，好像要长脑子了......
其实吧。
徐云向叶笃正描述的内容，正是后世知名度很广的反馈系统和指数发散。
这也是为数不多的混沌系统在概念上的数学切入点。
当然了。
后世还有一些曼德布洛特集和多分形图桉等等，但这些都需要计算机进行辅助。
过了片刻。
看着徐云写出来的内容，叶笃正眼中隐隐闪过了一丝明悟：
“....我好像有些明白了，韩立同志，大气系统的基本原理，其实符合决定论的逻辑？”
“没错。”
徐云闻言，心中微微一松，用力点了点头：
“这个系统并不是在驳斥决定论，而是因为决定论的方程出现了难以预测的现象，才令这个系统值得探究。”
“它是以决定论为基础的理论，用决定论推出了难以预测的结果——这是一个非常重要的概念。”
在徐云来的后世。
有关混沌系统的概念，经常会出现两个误区。
一是认为混沌系统的存在驳斥了可知论或者决定论，和量子不确定性是一个概念。
这其实是一个非常离谱的错误。
混沌系统指的是一定时间内不可知，并不是不确定，它和和决定论本身是不冲突的。
同时混沌理论是纯数学机制，而量子不确定性是物理机制——经典动力学中存在混沌现象，纯量子力学中不存在混沌现象。
更重要的是。
混沌意味着蝴蝶效应和相空间的分形结构，要求是非线性动力学。
量子力学中的确定状态只能在希尔伯特空间中描述，是一种线性状态。
至于第二个误区嘛......
就是混沌系统经常会莫名其妙的和‘哲学’扯上关系，最终越走越远。
比如说着说着就会扯上道家的定义，动不动就是道生一，一生二，二生三，三生万物。
然后末尾给你一个微信，加上去tmd就是推销檀香的.....
徐云一直担心叶笃正会误入这两个陷阱，这会导致叶笃正今后出现极其严重的研究壁垒，甚至可能精神上变成李火旺。
因此他从刚开始的时候，便在努力给叶笃正灌输混沌理论是纯数学机制这个概念。
“韩立同志。”
就在徐云给叶笃正解释到差不多之际。
一旁一直没说话的钱一....或者说钱秉穹突然开口了：
“韩立同志，那么照你这样说，我们的世界其实很大部分都是非线性的了？”
“那么如此一来，线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？”
听到钱秉穹这番话。
徐云忍不住看了他一眼。
随后强行按捺住见到大老的激动，平静的摇了头，解释道：
“钱...额，钱一同志对吧，那倒未必。”
“至少在我看来，线性系统其实是对非线性系统的一种‘最优线性近似’。”
“它保留了非线性系统中那些最重要的定性性质，比如稳定性或者不稳定性，也就是动力系统的拓扑性质。”
“根据微分拓扑的理论来分析，光滑流形上的那些可以被线性近似的非线性系统是通有的。”
说罢。
徐云再次拿起纸和笔，慢慢写了起来。
众所周知。
广义的说。
“线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即:
F(x_1+x_2+x_3+...)=F(x_1)+F(x_2)+F(x_3)+...
这个F不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。
简而言之。
线性系统对应的也就是线性映射。
而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是这样的：
\frac{dX}{dt}=A\cdot X其中X=[x1，x2，x3，...]T。
而A是一个常数矩阵，则这是一个线性的常微分动力系统。
与之相区别的非线性系统，则是无法写成以上形式的方程组所表征的系统。
比如有些是二阶、三阶、更高阶的系统，或者说形式上矩阵A中的项跟X的各项有关。
当然了。
非线性系统也包含偏微分方程中的非线性系统。
比如可以形成Turing Pattern的带有扩散项的系统。
但另一方面。
微分拓扑中的科普卡-斯梅尔定理机制保证了一个稠密性的情况：
局部稳定流形在工作点局部线性化之后。
对应的线性系统会具有稳定子空间εs和不稳定子空间εu，它们分别与对应的流形相切。
也就是在一定程度上。
非线性系统可以被近似看做线性系统处理。
“......”
过了一会儿。
钱秉穹消化掉了徐云的想法，又皱着眉头说道：
“但就算如此，韩立同志，也不是所有非线性系统都可以被线性化近似的吧？”
“或者说需要把非线性系统近似成线性，必须要完成很大的计算量？”
“没错。”
徐云干脆利落的点了点头，肯定道：
“想要尽可能的去优化近似，就必须要完成大量的计算——这和穷举法是一个道理。”
“而想要做到这一步，必须要依靠另一个工具。”
这一次。
钱秉穹沉默了更长时间，方才慢慢说道：
“你是指.....计算机？”
徐云深吸一口气，双手悄悄在桌下握成了拳：
“没错，计算机，我个人认为，这个方向是未来最重要的趋势之一。”
“甚至这样说....21世纪，将会是计算机的世纪。”
钱秉穹顿时童孔一缩。
作为华夏原子能科学事业的创始人，钱秉穹虽然由于专业限制，对计算机谈不上精通。
但他在大局观这块的掌握度却远非常人所能及。
因此在整个交谈过程中，他便意识到了一件事：
如果世界真正是非线性的话.....
那么今后科学发展的本底逻辑，就是要将非线性的东西近似成线性状态。
这所谓的‘东西’可能是天气、
可能是理论、
可能是经济、
也可能是.....
科技与军事。
而倘若真是如此。
那么徐云所说的计算机，确实就是必不可少的一个重要方向了。
“计算机吗......”
看着对面脸色变换不停的钱秉穹，徐云的心绪同样紧张不已。
这是他临时挖的一个坑。
【世界是非线性的】。
这是一个在混沌理论提出后才被发现的真相。
注意。
还是那句话：
这不是一个哲学话题，而是数学概念。
只是它听起来有点哲学味儿罢了。
非线性研究从上个世纪60年代出现，直到70年代末才正式进入发展阶段。
这个概念直接促使了很多领域的发展，其中最具代表性的便是.....
计算机行业。
后世什么金融混沌系统啦、神经混沌系统啦、气象混沌系统啦，全都是靠着计算机支棱起来的。
因此在叶笃正提出了混沌理论的问题后，徐云立刻想到了这一层：
自己当初已经在孙俊人那边埋下了工业软件的线，而如果再在今天埋下计算机的种子.....
那画面可太美了.....
而且要知道。
此时坐在自己对面的可是钱秉穹！
一位完全有能力理解自己所说概念、意识到这个价值并且把它传递给决策层的大老！
倘若上层真的开始重视计算机......
妈耶。
这个世界改动的好像有点厉害了.......
不过没关系。
被强化的可是兔子，谁不希望自己的国家越来越好呢？
徐云甚至巴不得兔子尽早搞出高达，人人开着初号机，在某些不得house的house面前好好展示展示什么叫作风优良！
因此一时间。
现场三人齐齐陷入了沉思，只有一旁的乔彩虹感觉天旋地转。
然而几秒钟后。
呜呜呜——
距离他们不远处的一根电线杆上，忽然有个喇叭响起了刺耳的警报声。
见此情形。
石桌边。
叶笃正、钱秉穹等人骤然脸色一变，勐然转头看向了某个方位。
乔彩虹也瞬间从o.O的表情中恢复了过来，一把拉住了徐云的轮椅：
“韩立同志，有情况！咱们快走！”
.....
注：
今天驴兄生日，大家去角色卡点个赞吧.....