第5部分（第5页）

观察马鞍那类二维的曲面那样，“从外面”

对它进行观察。

但是，

那些说这种话的人，只不过是暴露出他们自己不懂得曲率的严格

数学意义罢了，事实上，这个词的数学含义同它的一般用法是有

相当大的区别的。

我们数学家说某个面是弯曲的，那是说，我们

在这个面上所画的几何图形的性质，不同于在平面上所画的同一

几何图形的性质，并且，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程

度来衡量曲率的大小。

如果你在一张平坦的纸上画一个三角形，

那么，正如你从初等几何学所得知的那样，这个三角形三个角的

总和等于两个直角。

你可以把这张纸弯成圆柱形、圆锥形，或者

甚至弯成更复杂的形状，但是，画在这张纸上那个三角形的三个

角之和，必定永远保持等于两个直角。

这种面的几何性质不随上述形变而改变，因此，从“内在”

曲率的观点看来，形变后所得到的各种面（尽管在一般概念中是

弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。

但是，你要是不把一张纸撕破，你就无法把它贴切地贴在球

面上或鞍形面上；不仅如此，如果你想在一个球面上画一个三角

形（即所谓球面三角形），那么，欧几里得几何学那些简单的定

理就不再成立了。

事实上，我们可以用北半球上任何两条半截的

子午线（即经线）与两者之间那段赤道所构成的三角形作为例子，

这时，三角形底边的两个角都是直角，而顶角则可以具有任意大

的角度，这三个角之和显然大于两个直角。

同球面的情形相反，在鞍形面上，你会惊讶地发现，三角形

三个角之和永远小于两个直角。

可见，要确定一个面的曲率，必须研究这个面上的几何性质，

而从外面来观察常常会产生错误。

仅仅依靠这种观察，你大概会

把圆柱面同环面划为一类，其实，前者是平面，后者却是无法矫

正的曲面。

你一旦习惯于曲率的这种新的、严格的数学概念，你

就不难明白，物理学家们在讨论我们所居住的空间到底是不是弯

曲的时候，他们所指的是什么东西了。

我们不需要跑到我们所居

住的三维空间的“外面”

去“看看”

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